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determinants de matrice

Par: Pauline - Source: - vu :3696 fois   - Déposé le: 2011-12-03 18:02:22


coucou

pour commencer, une petite question technique.

est ce que t'as un "truc" pour que lorsque je calcule le déterminant d'une matrice, j'aie une forme factorisée le plus rapidement possible. Parce que j'essaie bien de mettre des termes en facteurs, mais souvent, je me retrouve quand même avec un polynome du second voire du troisième degré et donc à factoriser c'est pas toujours facile...




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bach
Il est certain que le calcul des raciness des equations du 3eme degree nest pas toujours evident et meme si Cadran est la pour nous faciliter la vie, sa method reste neamoins longue et necessite une bonne dose de concentration pour la comprendre (mais je te la conseille au cas ou tu ne trouve pas des racines evidentes)

Sinon je te donne les deux methodes que jadore dans le cas casse tete dune equation du 3eme degree dont on trouve pas des solutions evidentes: :

La premiere methode (La plus rapide): :
On connait tous le discriminant dans le cas du second degree, est ce que tu sais quil existe un discriminant pour le degre 3? 4?... n? tu peux faire une petite recherch sur internet dessus, en master je lutiliser dans le cas des courbes elliptiques (equations de Weierstrass) :

Et puis une method intelligente et de prendre lequation dans une function, calculer la derive, dresser le tableau de variation et puis dessiner la courbe, tu peux le faire dune maniere rapide et puis tu verra les intersections avec laxe des abscisse, cela te donnera les racines de ton polynome en question (les valeurs restent approximatives puisque cest un graph) :

Par exemple tu as lequation suivante x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 2=0, tu ecris f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 2 et tu trace la courbe suivante:
04/12/2011 20:10:18  Commenter (En construction..)
bach
NB: attention en ce qui est des racines evidentes qui sont les diviseurs du terme constant, ca marche uniquement pour les termes entiers bien sur ! ;)
04/12/2011 19:31:08  Commenter (En construction..)
bach
Je te conseille de jeter un coup doeil sur la La factorisation de Cholesky. Sinon Avec un peu de chance ta matrice est de dimension 3 et la tu peux utilizer une magie: la rgle de Sarrus (attention ca ne se generalize pas!):
Sinon dans le cas dune matrice triangulaire:
Et il existe une centaine dautres cas particuliers sauf que des fois ce sont des theorem que tu na pas appris en cours et donc pas le droit de les utiliser.
Ce que je te conseille cest daller vers la factorization et je ne comprend pas ce qui est si difficile que ca, rien d eplus simple que de factoriser un polynome de degr 2 ou 3: Sil ets de degr 2: tu cherche le discriminant et tu trouve les racines trop simple a faire.
Sil est de degr 3: tu utlise la methode de recherche de racines evidentes ou la method de Cadran:
Tu me dira: Mais mr je ne vais pas essayer tout les nombres pr tomber sur le bon!
Mais non c plus simple ke ca! si ton polynome ne contient pas une constant, alors 0 est une racine evidante et on tombe sur un polynome du 2nd degre.

Sil admet un terme constant on essaye alors les diviseurs de ce terme, par exemple si 10 est le terme constant du polynome en question, nous naurons qua essayer les nombres: +-1; +-2; +-5 et +-10!

Si lequation de 3eme degr nadmet pas de racines evidentes on peut alors se tourner vers le theoreme de Cadran qui marche pour les equation reduites (cad de la forme: x^3+px+q=0, si lequation nest pas reduite on peut toujours lemmener a la forme reduite..), ce qui est interessant cest: Soit une quation cubique sous la forme rduite :
X^3 + p x + q = 0.
Si lon a 4p^3 + 27q^2 >= 0, alors une solution particulire est donne par
04/12/2011 20:01:02  Commenter (En construction..)

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