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determinants de matrice

Par: Pauline - Source: - vu :3733 fois   - Déposé le: 2011-12-03 18:02:22


coucou

pour commencer, une petite question technique.

est ce que t'as un "truc" pour que lorsque je calcule le déterminant d'une matrice, j'aie une forme factorisée le plus rapidement possible. Parce que j'essaie bien de mettre des termes en facteurs, mais souvent, je me retrouve quand même avec un polynome du second voire du troisième degré et donc à factoriser c'est pas toujours facile...




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bach
Il est certain que le calcul des raciness des equations du 3eme degree n’est pas toujours evident et meme si Cadran est la pour nous faciliter la vie, sa method reste neamoins longue et necessite une bonne dose de concentration pour la comprendre (mais je te la conseille au cas ou tu ne trouve pas des racines evidentes)

Sinon je te donne les deux methodes que j’adore dans le cas casse tete d’une equation du 3eme degree don’t on trouve pas des solutions evidentes: :

La premiere methode (La plus rapide): :
On connait tous le discriminant dans le cas du second degree, est ce que tu sais qu’il existe un discriminant pour le degre 3? 4?... n? tu peux faire une petite recherché sur internet dessus, en master je l’utiliser dans le cas des courbes elliptiques (equations de Weierstrass) :

Et puis une method intelligente et de prendre l’equation dans une function, calculer la derive, dresser le tableau de variation et puis dessiner la courbe, tu peux le faire d’une maniere rapide et puis tu verra les intersections avec l’axe des abscisse, cela te donnera les racines de ton polynome en question (les valeurs restent approximatives puisque c’est un graph) :

Par exemple tu as l’equation suivante x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 – 2=0, tu ecris f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 – 2 et tu trace la courbe suivante:
04/12/2011 20:10:18  Commenter (En construction..)
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bach
NB: attention en ce qui est des racines evidentes qui sont les diviseurs du terme constant, ca marche uniquement pour les termes entiers bien sur ! ;)
04/12/2011 19:31:08  Commenter (En construction..)
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bach
Je te conseille de jeter un coup d’oeil sur la La factorisation de Cholesky. Sinon Avec un peu de chance ta matrice est de dimension 3 et la tu peux utilizer une magie: la règle de Sarrus (attention ca ne se generalize pas!):
Sinon dans le cas d’une matrice triangulaire:
Et il existe une centaine d’autres cas particuliers sauf que des fois ce sont des theorem que tu n’a pas appris en cours et donc pas le droit de les utiliser.
Ce que je te conseille c’est d’aller vers la factorization et je ne comprend pas ce qui est si difficile que ca, rien d eplus simple que de factoriser un polynome de degré 2 ou 3: S’il ets de degré 2: tu cherche le discriminant et tu trouve les racines… trop simple a faire.
S’il est de degré 3: tu utlise la methode de recherche de racines evidentes ou la method de Cadran:
Tu me dira: Mais mr je ne vais pas essayer tout les nombres pr tomber sur le bon!
Mais non c plus simple ke ca! si ton polynome ne contient pas une constant, alors 0 est une racine evidante et on tombe sur un polynome du 2nd degre.

S’il admet un terme constant on essaye alors les diviseurs de ce terme, par exemple si 10 est le terme constant du polynome en question, nous n’aurons qu’a essayer les nombres: +-1; +-2; +-5 et +-10!

Si l’equation de 3eme degré n’admet pas de racines evidentes on peut alors se tourner vers le theoreme de Cadran qui marche pour les equation reduites (cad de la forme: x^3+px+q=0, si l’equation n’est pas reduite on peut toujours l’emmener a la forme reduite..), ce qui est interessant c’est: Soit une équation cubique sous la forme réduite :
X^3 + p x + q = 0.
Si l’on a 4p^3 + 27q^2 >= 0, alors une solution particulière est donnée par
04/12/2011 20:01:02  Commenter (En construction..)

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