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systeme differentiel

Par: Pauline - Source: - vu :3638 fois   - Déposé le: 2011-12-02 23:46:38


coucou

j'ai donc un "petit" exercice pour toi, et j'ai essentiellement besoin d'explications...

voila donc l'énoncé :

On considère le système différentiel suivant :

(S) :

x'(t) = y(t) + z(t) + 10sin(t)

y'(t) = x(t) + z(t)

z'(t) = x(t) + y(t) - 10cos(t)

 

avec comme conditions initiales : x(0) = 3 ; y(0) = -1 ; z(0) = 3

Résoudre le système.

 

Voila, merci d'avance =)




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bach
x'(t) = y(t) + z(t) + 10sin(t)(1)
y'(t) = x(t) + z(t)(2)
z'(t) = x(t) + y(t) - 10cos(t)(3)


En drivant (1) =>
x'(t) = y(t) + z(t) + 10sin(t)
x''(t)= y'(t) + z'(t) + 10cos(t)
=[x(t)+z(t)]+[x(t)+y(t)-10cos(t)]+10cos(t)(en utilisant les 2 autres equations)
=>x''(t)-x'(t)-2x(t)=-10sin(t)(voila une equation differentielle du 2nd degr)


On rsoud l'equation homogne: x''(t)-x'(t)-2x(t)=0. L'equation caracteristique est r^2-r-2=(r+1)(r-2) aprs factorisation) dont les solutions sont: -1 et 2.

Les solution de l'equation homogne sont donc:
x(t)=K1exp(-t)+K2exp(2t), K1 et K2 appartiennent a R.

On cherche maintenant les solutions particulieres de l'equation: (Ec):x''(t)-x'(t)-2x(t)=exp(it). sous la forme x(t)=z(t)exp(it) dont on prendra la partie relle!
On ecrit la boite z:
x -> z
*exp(-it)
x -> exp(-t)x -> exp((-1-i)t)
x -> exp(2t)x -> exp((2-i)t)

L'equation en z est donc:
z''+(-1-i+2-i)z'+(-1-i)(2-i)z=1.

Soit z''+z'-z=1. Reste a rsoudre cette equation!
04/12/2011 23:26:10  Commenter (En construction..)

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